lunes, 9 de julio de 2012

4.1.1 Series Finitas

19:54 | Publicado por Mariana | | Editar entrada
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución deecuaciones diferenciales. La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
\Delta = hD + \frac12 h^2D^2 + \frac1{3!} h^3D^3 + \cdots = \mathrm{e}^{hD} - 1,
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f\, con su derivada f\,', es decir, D = u'\,, D^2 = u''\,, D^3 = u'''\,,...
Formalmente, invirtiendo la exponencial,
hD = \log(1+\Delta) = \Delta - \frac12 \Delta^2 + \frac13 \Delta^3 + \cdots. \,
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:
f'(x) \approx \frac{\Delta[f](x) - \frac12 \Delta^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}.
El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
hD = -\log(1-\Delta) \quad\mbox{y}\quad hD = \, \operatorname{arcsinh} \left( \Delta \right).

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