lunes, 9 de julio de 2012
4.6 Representaciòn de funciones mediante las serie de taylor
20:18 | 
Publicado por
Mariana |
Sea f(x) una función definida en un intervalo que
contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.
El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) +
f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y
también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto.
Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto
a.
Es posible elegir un polinomio de segundo grado,
p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2,
tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales
para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la
de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio
que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto,
este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así
obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de
Taylor:
f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a)
(x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a)
(x-a) n
El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de
grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este
polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras
derivadas.
Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el
segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del
primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que
(x-a)n. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x),
para x próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más
rápidamente que (x-a)n.
Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.
Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.
Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior,
debemos añadir al segundo miembro un término más, llamado resto:
f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+
...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!)
f (n+1)(c)(x-a)n+1
El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en
él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c
convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a
y x.
La demostración de la igualdad anterior es bastante
engorrosa, aunque sencilla en esencia.
Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general,
con buena aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y
por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por
la precisión deseada.
La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría
de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de
vista práctico.
La idea de aproximar una función mediante polinomios o de
representarla como suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó
un gran desarrollo en el análisis, donde constituye ahora una rama
independiente: la teoría de la aproximación de funciones.
En el enlace siguiente de Fuente se encuentran ejemplos
realizados para comprender mejor la aproximacion en Series de
Taylor.
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